세계 7대 난제 리만가설 마침내 풀릴까?? 리만 가설이란 무엇인가??

영국 수학자 마이클 아티야 박사(89)가 수학계 난제인 리만 가설을 증명했다는 소문이 SNS에 퍼지면서 학계가 들썩이고 있습니다. 

독일 하이델베르크 수상자 포럼은 21일 트위터를 통해 오는 24일 마이클 박사가 리만가설 증명을 할 예정이라고 밝혔는데요.

리만가설 ... 2 3 5 7 11 13 17 19.....13999 14009?

리만가설은 숫자 가운데 1과 자신으로만 나누어지는 수인 소수의 성질에 관한 것으로, 독일 수학자 베른하르트 리만이 1859년에 내놓은 가설로~ 이 가설은 '리만제타(ζ) 함수'로 불리는 복소함수의 특별한 성질에 관한 것으로 수학계에서 아직 풀리지 않은 가장 중요한 난제 중 하나입니다. 

미국 클레이수학연구소(CMI)가 상금 100만달러를 내건 7대 난제 중의 하나로 그동안 수많은 수학자가 리만가설 증명에 도전해 왔으며 저명한 수학자들도 여러 차례 증명했다는 주장을 펴기도 했으나 학계의 검증을 통과하는 데는 실패했었습니다.

한편 일반인들에게도 큰 이슈가 되고 있다고 하는데요.
리만가설이 다른 수학 난제들보다 일반인에게 비교적 널리 알려있는데다, 해결을 했다고 주장하는 아티야 박사가 수학계의 노벨상으로 불리는 '필즈 메달'과 '아벨상' 등을 받은 세계적인 수학자이기 때문으로 한층 더 화제가 되고 있는 듯 합니다.

특히 리만가설이 증명되게 되면 소수를 근간으로 한 컴퓨터 공개키 암호 체계가 무용지물이 될 수도 있다는 우려가 있기때문에 더욱 관심을 집중시키고 있습니다.

하이델베르크 수상자 포럼 측이 트윗으로 이 소식을 알리자 많은 사람이 댓글 등을 통해 그가 발표할 강연의 초록(중요부분을 간추린 기록)을 요청하거나 강연 동영상을 볼 수 있는지~ 문의를 하는등 큰 관심을 보이고 있습니다.

반면 학계는 신중한 반응보이고 있는데요. 

아티야 박사가 실제로 리만가설을 증명한 것인지 증명하는 내용을 보고 철저한 검증과정을 거친 후에야 이를 인정할지 말지를 결정할 수 있다는 반응을 보이고 있습니다.

리만가설이란?

리만은 계산을 거쳐 제타함수의 자명하지 않은 해를 몇 개 구하였는데, 이 해들의 실수부는 모두 1/2이었다. (실수부가 1/2인 직선을 임계선이라 부른다.) 이로부터 리만은 다음과 같은 예상을 했다.

리만 제타함수의 자명하지 않은 해는 모두 실수부가 1/2이다.

지난번에 소개한 제타함수와 감마함수의 관계를 보더라도, 세상이 어쩐지 아름다워야 한다고 생각하는 수학자라면 제기할 수 있는 예상이긴 한데, 이를 리만 가설이라 부른다. 리만은 사실 이 가설을 별로 중요하게 여기지는 않았지만, 어쨌든 이 가설이 성립할 경우 위의 많은 항 중에서 로그적분 Li(x)가 전체를 좌우하는 ‘주요항’임을 보일 수 있으므로, ‘소수정리’를 증명할 수 있다는 것이 리만의 주장이었다.

사실 세월이 흐르며 리만의 아이디어를 이해하고 분석하면서, 리만 가설보다 훨씬 약한 가정인 ‘제타 함수의 자명하지 않은 근의 실수부가 1이 아니다’는 사실만 증명해도 소수정리를 증명하는 데는 충분하다는 것을 알게 됐다. 이 사실은 비교적(!) 어렵지 않게 증명할 수 있으므로 소수정리는 증명되었다. 따라서 리만이 원래 의도했던 꿈은 성취한 셈이다. 한편 현재는 리만의 아이디어인 복소수를 쓰지 않은 소수정리의 증명도 나와 있고 이를 초등적인 증명이라 부르는데, 이름은 초등적인 증명이로되 증명은 훨씬 복잡하고 길다.

왜 리만 가설이 필요한가?

리만 가설보다 더 약한 가설을 증명해서 소수정리를 증명할 수 있었으니, 리만 가설은 필요 없는 것일까? 사실 소수정리가 예견하는 소수의 개수에 대한 근삿값은 오차가 많다. 하지만 리만의 아이디어에서 나온 공식은 ‘정확한 값’을 주기 때문에 리만 가설은 여전히 중요한 문제다. 예를 들어 현재 10²⁴ 보다 작은 소수의 개수는 다음과 같다는 것을 정확히 알고 있다.

18,435,599,767,349,200,867,866

하지만 이는 10²⁴ 이하의 소수를 모두 찾아서 센 것이 아니다. 2010년까지만 해도 저 값은 리만 가설을 가정한 상태에서 예상한 값이었고, 지금은 리만 공식을 이용하여 컴퓨터 및 부단한 계산을 통해 리만 가설을 가정하지 않아도 옳다는 것을 겨우 알아낸 정도다.

이 짧은 글에서는 설명할 수 없지만, 리만 가설은 소수 세기 함수와만 관련이 있는 게 아니다. 수론에서 알고 싶어하는 상당히 많은 함수가 리만 가설과 관련돼 있어서, 리만 가설의 진위 여부에 따라 이 함수들에 대한 수많은 예측이 한꺼번에 다 해결되거나, 모두 휴지 조각이 될 수 있다.

한 가지만 덧붙이고 리만 가설에 대한 얘기는 이쯤에서 맺기로 하자. 현대 암호 체계의 안전성은 대체로 큰 자연수를 소인수 분해하는 것이 어렵다는 사실과 밀접한 관련이 있다. 리만 가설이 소수에 대한 정보를 많이 담고 있는 건 사실이지만, 일각에서 말하는 것처럼 리만 가설을 풀면 현대의 암호가 모두 무용지물이 된다는 괴담은 사실이 아니다. 단적으로 리만 가설을 가정한 상태에서도 아직까지 10²⁵ 이하, 즉, 자리수가 25자리 이하인 소수의 개수조차 알지 못한다. 하지만 현대의 암호에 보통 사용하는 소수는 100자리를 넘는다. 물론 리만 가설을 증명, 혹은 반증하는 방법론이 무엇이냐에 따라 다를 가능성은 있지만, 적어도 리만 가설 자체는 큰 수를 소인수 분해하는 방법을 제공하지 못한다는 것이 정설이다.

[네이버 지식백과] 리만가설 - 100만 달러 상금이 걸린, 현대 수학 최대의 궁금증. (리만가설 이야기)